珠心算溶入数学的理论与实践

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珠算是中华民族优秀文化遗产之一，世界上曾出现过多种形式不同的算盘，但都前后逐渐消失，唯有中国算盘长盛不衰。它是我国千百年来主要的计算工具，在经济和人民生活中起到了不可替代的作用。珠算不仅有计算功能，还有教育启智功能。六十年代上海崇明县首创把珠算、口算和笔算结合起来的三算教学，收到很好效果，全国各地先后试行、推广，做法不尽相同，有以天津、广西的"不改造式"，以"笔算为主，珠算为辅的笔代珠，以珠促笔"；和以杭州为代表的"改造式"，以"珠算为基础，改进笔算，促进心算"。从1973年到1977年全国除西藏、台湾之外都发展成不同规模的实验，人数多达3000余万。1978年全国实行统一教材，三算下马01980年后再次兴起，全国除西藏、台湾外，各地都有共有七万多个班级，三百余万学生。目前中国珠算协会领导的三算教学专业委员会，挂靠在中央教育研究所(原挂浙江省珠协)在继续推广三算教学。90年代，从竞赛开始显露头角的珠心算，以其独特的惊人效果，轰动了国内外。1992年我国开始了有计划、有组织的推广活动，当时主要目标是提高计算能力，同时也使人们看到了开发脑潜能的苗头，由于是从竞赛出发，所以训练的方式方法是从培养选手出发。这种旨在提高速度提高正确性的训练，适用于专业上的需要和竞赛。虽然有它固有的价值，但不能充分发展它所蕴含着的所有的潜力。这种潜力虽然未尽开发，但你一旦走近它，就会感到一股不可阻挡的力量透壁而出。上海从90年代开始就确定了以普及为目的制定了三个层次的目标：一是提高计算能力，二是开发智力，三是从数学上见到效果。第一个试点小学是宁波路三小，90年代后期宁波路三小被黄浦区教育局批准为"珠心算特色学校"，正式挂牌。
　　珠心算的做法和三算教学不同，它是以珠算为计算符号，融人数学替代笔算，作为中西方数学结合的突破口来进行的。21世纪是中西方文化融合的时代，我们必须发扬本民族的优秀文化，广泛汲取一切先进的外来文化，数学也不应该是全盘西化。可以开掘中国古代文化优秀数学思想方法加以发展，走中西方数学结合的道路。 2001年我们找到了珠心算的定位，"开发脑潜能，启发创新思维，培养非智力因素，增强动手能力"。并且在开发脑潜能综合心理能力上，完成了理论到实践的实验，同时在专家的指导下的幼儿园基本完成了珠心算教育的系统配套工程。它们是：
1．幼儿园活动教材，学生用书；
2．幼儿园活动教材，教师用书；
3．珠心算活动游戏集(以上已正式出版)；
4．教案的交流(陆续在《上海珠技》专刊中刊登)；
5．师资培训教材(内部发行)；
6．将原来珠算技术的鉴定改革为开发综合心理的测试(2002年开始实行)；
　　这些资料是体现了教育理念，符合教学规律和学生身心发展的条件的，这也意味着我们在实验中已经把珠心算的计算功能比较彻底的延伸到教育启智功能上来。
　　前我们的任务是如何从发挥教学配套工程的整体作用，让它更好地为素质教育服务。
我们认为必须重视在珠心算过程中开发脑潜能，同时提高数学能力。因为启发创新思维必须建立在切实的数学能力上，只有综合心理能力和数学能力提高，才能发挥珠心算的内在优势，才能体现珠心算的作用和价值。
　　提高综合心理能力和数学能力不仅使珠心算在教育领域能够站稳脚跟，且从理论上有力的证明珠算在数学中的地位和作用。长期以来珠心算教学所以会出现波动起伏，根本原因是数学受全盘西化的影响，教育领域有种看法，认为"数学中没有珠算"。所以从理论到实践开发综合心理能力和数学能力，对走中西方数学相结合的道路有着十分重要的意义。 二
　　二、珠算在数学中的地位
　　珠算在数学中的地位和作用，其实是很明白，但由于众所周知的原因，我国数学全盘西化，古算传统以至沦落湮没无闻。但是如果从珠算发展的历史和当前教育部门对幼儿园、小学数学教学所提出的教学目的、任务、方法对照来看，在珠心算所能发挥的功能作用上，应该可以达成共识的。
(一)宋元时代算盘被广泛地应用
体现了古典数学的最高成就
北京师范大学等九所高校组织编写的《中国数学简史》的序言中有一段十分精辟的论述："中国宋元时期的数学中有不少在世界数学史上领先几百年的成果，这是中外数学史界所公认的，而此后一直到明末这一阶段内则没有出现领先的成果，从这个角度讲，发展是缓慢的，分析起来，宋元数学的优秀成果理论较强，多属于现在的纯粹数学的范围，而元末至明末则不然，数学发展的主要趋势在于珠算的发展，实用性较强，可属于现在的应用数学范围，宋元时期的优秀成果，如果从刘益、贾宪开始到朱世杰为止，大约经历了300年；而珠算的发展，如果从元末出现至《几何原本》前六卷译出(1607年)大约也经历了300年，这300年，中国珠算发展到完善的地步，无论是制作和算法均如此，若以珠算的发展而论，此阶段中国数学的发展似不可称为缓慢。"

"……珠算，即使在今天也仍有它的实用价值和许多计算工具所不及的优越性。"
第一、算盘结构体现了古代数学记数的三个特点，它是领先于世界各国的。(1)是采取位置制，它反复使用前9个数码，放在不同的位置上，构成所有的数。它比巴比伦、埃及、罗马、希腊等文明古国所采取的累积法要先进。(2)采用10进制，算盘上是二颗算珠，下五颗算珠，既可16进位符合斤两法，也可10进位，近代算盘上一下四，还可二进制的计算，各进制之间转换在算盘上操作也很方便，(3)南宋时蔡沈"律品新书"中把"0"用"口"表示，与空位是等效的。一般认为"0"这个符号的发明在数学中起着革命性的作用。
第二、从筹算到珠算演变经过几代数学家的努力，传统筹算法使用不方便，计算速度缓慢不能适应社会各方面尤其是商业发展的需要。唐宋之际术一算法的出现，是由筹算到珠算过渡的象征。术一算法即把多位数乘除法通过加倍，折中等方法使乘数或除数的第一位数变成"1"或者将其分解成二个以上的一位数字的连乘积。这样既可以通过移位和加减就能在一个横列内完成运算，而不像筹算在三个横列内运算。但这种办法仍很繁琐，只是反映了珠算的使用是在初级阶段。
第三、到了宋元有了突破。杨辉在《乘算通变算室>中将九归歌诀初有的4句，扩为32句。但系统性不强。元朝朱世杰在《算学启蒙)中的归除口诀和当今九归歌诀，大体相同。其次在秦九韶《数书九章》中所出的数码来看，更反映对珠算使用在当时已比较普遍了，这组数码反映出算珠形象显示了。而且突出表现在"五"的形象上。五升十进也是算盘长盛不衰的重要因素之一。
综上所说不难看出，珠算如不含蕴古代数学内涵，没有历史数学家们的努力，珠算不可能普遍使用，宋元间商业繁荣也是不可想象，一千多年来算盘作为我国的传统工具的情况就不可能存在。
(二)从近代珠算展示的功能作用对照小学(幼儿园)
数学教学的目的任务方法看珠算在数学中的地位和作用
为叙述简便，从低到高开始，先了解幼儿园数学教学的意义、任务和方法开始。幼儿教育是家庭教育的延伸，而非小学教育。其数学教学意义是：通过数学知识的启蒙，达到更好的培养幼儿的思维的正确性、灵活性、敏捷性。
其任务：概括来讲三点：第一诱发幼儿对数学的兴趣。
第二学习一些粗浅的数学知识。主要是感知一些有关现代数学集合、对应的基本概念；具有一些分类、排序等数学智力操作活动的能力；初步学习10以内自然数和加减运算；初步区分一些常见的量和进行量的比较；初步认识一些简单的几何形体；初步识别空间方位、时间观念等。
第三发展幼儿的智力，特别是初步逻辑思维能力以及非智力因素的培养。而幼儿教育必须采取"寓教于乐"的原则。
小学数学教育在知识面上有发展提高，上海教改前九年义务制教学课本体系结构包括：数与计算，整数四则运算，有小数和当时四、五年级还有正负数的认识和运算；量与计算部分，到体积、容积单位和进度；几何知识方面到平行四边形、梯形、菱形的认识以及包括正方形、长方体、体积和表面积；应用题方面，到列方程解应用题；而代数方面也是如此。最后还有简易的统计图。
对照近代以来对珠算内涵开掘深化以及我们在三年科学实验发挥的效果看，首先在数学教学的领域，珠算具有其无法替代的优越性。
1、近代学者从数学历史发展上对珠算功能的阐述：算盘不仅是计算工具，更是很好的学具。
中国科学院自然科学研究所研究员付海伦先生精辟的指出："算盘作为中国发明的最古老的计算工具，不仅有计算的功能，而且有教育功能。算筹是中国古代数学的一种独特工具，"算术"的意义即是运用算筹的技术，这恰当概括了中国古代数学使用算器，以算为主的特点，成书于公元一世纪的"九章算术"是我国最重要的数学经典，也是以算筹为算具的教科书。算筹作为当时世界最灵巧的计算工具，使用起来既方便，又准确，成为在中国历史上延续了1500年以上的科学传统，元朝以后发展的珠算是筹算制的发展、改革和继续，付海伦特别强调："教师应认识算筹和珠算在世界数学发展吏中的地位和作用，并具体在教学中发挥其独特的教育功能。"
中国有句古话叫"身在宝山不识宝"，在中国创造畅销书纪录的《学习的革命》一书的作者之一戈登1999年到上海来参观时说："就学习而言，我这并不是创新，中国有几千年学习的传统，中国的算盘就是最好的学习工具，可惜你们没有很好的挖掘。"
2、近代学者从算盘结构上对珠算功能的阐述。
"当代中国珠算"上有这样的论述：中国科技文化典籍《周易》理、象、数三法则，已体现出中国数学一定的思想方法。河图、洛书的丰富蕴义，同一系列的算具算法相联系，互相启发。经过上千年的历史过程，从各种算具算法中汰选，最终形成了当今的珠算，这也是珠算模型优越、能集中体现中国数学精华最好的证明。台湾学者南怀瑾在《易经系传别讲》中指出：易经的文化是归纳法，同西洋的数理文化不同。西方的数理是演绎法，永远向前发展。所以，天文数字越来越大；《易经》的法则是用看得见摸得着的归纳法、无边：无量的向内收，收到了十个数字以内；而且数学方法也很简单，归纳到加减乘除就够了。实际上是加减，乘除都不要了。从我国古代《易经》中相传的河图、洛书看，也的确意在体现把无量无边繁衍的数理收到十个数以内。十个数排列的上下、左右、先后，体现了各数相互间所有的联系和无穷的变化。而二张图上"5"都是居中的。

由此可见算盘上的上一下四珠，五颗珠的按档排列，在算理上体现了古代数学的精华，在操作上，它只有26个动作或者说是珠码动态。因为1、2、3、4、6、7、8、9、在指法上有三种动态(含还原动作)，5则有两种动态共26种，正如英文、26个字母可以表现所有英语语汇一样，26个珠码转换可以包罗无数有理数的四则运算。同时，上一下四，只有五颗算珠，在记忆上为建立珠映象发展珠心算创造了外在条件。这符合心理学家耶文斯所作的有名黑豆试验：凡在5颗珠以内，被试者一瞬间即报出数字，总是100％的正确。
3、从三年以来实验效果看珠心算在幼儿和小学数学教学中所发挥的作用。
(1)有利于提高综合心理能力，开发形象思维或者是人脑中的表象符号特征。
首先，由于珠算包含以上所说的内涵和特点等，在开发智力上和幼儿4-12岁成长的生理特征相吻合，况且它更是开发形象思维的有利工具，因之在幼儿教学和弱智儿童教育中更收到显著的效果。
其次，算盘的构造科学、巧妙，它数位分明，数形结合，珠动数出，更由于它是一种半具体半抽象的中介，有助于形成数位顺序，数位大小的清晰表象，能在对应中，在实物具象和数字抽象之间发挥表象的桥梁作用。它简洁直观，便于操作，有利于帮助幼儿认数、计数、形成数概念。在操作方法上它通过眼看、手拨、口念算理、脑想十分符合儿童动作思维的心理特点，又有利儿童进行言语训练。所以说珠心算可以调动幼儿多种感官的协调活动，促进幼儿的注意力、观察力、记忆力、想象力和思维能力的发展，从而建立脑映象，促进右脑形象思维或者是发挥人脑内表象符号系统的作用。这对开发全脑和多元智能极为有利的。所有这些，都体现了幼儿教育"做中学"和"寓教于乐"的特点。所以相比于外国用的计算板、计算块、计算器、小棒、数点等等来认数和计数，算盘是当前世界上最好的玩具、学具和教具。其作用是无法否定的。
(2)有利于提高数学能力。
第一、提起笔算人们总把它看作数学的全部，由之认为珠算和笔算不能相提并论。其实笔算只是"脑算+笔写"，是一种计算方法其作用和珠算一样。计算是数学的基础，但不是全部，而"整个数学由两个概念构成，一个是数，一个是形，这两者都是现实世界的一部分。数学被这两个概念牢牢地系在物质现实上，比较抽象的方面联系到数，比较直观的方面联系到形，这两方面是相辅相成的。"数和形也是紧密相连的。仅是会加减乘除运算只是计算，但计算方法过程离不开算理，如在计算过程中"经过一番分析与综合、抽象与概括、判断与推理的过程，由感性认识到理性认识，在这个过程中就可以发展幼儿的智力(观察力、记忆力、注意力、思维力、想象力)尤其是逻辑思维能力。"(见邹兆芳《新编幼儿数学教学>三联书店出版1996)而珠算的操作过程具有半具体半抽象的特点，珠映象的建立，能够在脑中把整个运算过程再现。通过大量的事例就更有利于分析、综合、概括和判断的进行，也有利于提高学习的兴趣。珠算的这种半具体半抽象的直观形象加上运算过程用手来操作，其促进思维方法的力度、计算的效果都是概念式的笔算所不及的。计算和数、形之间相互关系如此密切，那种为追求提高数学能力想节约时间，大量削减计算，甚至以计算器代替小学生笔算而进入课堂，不是再次告诉我们是失败的吗?因为没有计算基础的学生是学不好数学的。当然，单纯追求计算速度、正确性这只是一种适用于专业的需要和展示珠算技巧的一个方面，有它的价值，但不能与普及等同。所以我们不赞同把普及教育变成训练"神算子"的场地；也反对那种把珠心算高度技巧贬低为"杂技"的论调。普及对计算的要求是建立在计算和数、形之间的内在关系上，是为了在计算过程中提高计算能力、综合心理能力和数学能力，所以计算的强度、要求控制在教育大纲要求范围之内而略有超前。这也是我们和教育部门支持珠心算的学者、专家所取得一个重要的共识。
第二、由于算盘结构科学、巧妙，运算过程直观形象，数形结合，它可以进而有利形成数学基本概念。"集合和对应"、掌握辩证的思想方法和算理的精髓。
1) 自动出数。1+1=2在算盘上自动显示，但笔算加减须熟记20以内加减的162个公式，珠算只用珠算26个动珠码替代，熟练后，拨珠可以不假思索，哪一种算法更能减轻思想负担不是很明显的吗。1+1=2，2-1=1不仅显示答数，也体现了数学中一个基本概念集合，从集合的角度看，幼儿数学中的算理，加法就是求已知两个没有公共元素的有限集合的并集的基数，减法就是求有限集合与它的子集的差集的基数。

那一种更直观形象，便于操作，更能把计算和基本概念紧密联系，不是很清楚了吗?
2) 二元示数
如：拨上去靠梁的珠和没有动的靠框珠互成补数。189和11互补成200在算盘上是时非常形象的(只须把末尾看成10)，再加上珠算珠动数出，自动出数的优势，正由于这些优势，422-189=233用补数做422-200+11=233非常快捷。它实际上是"看"出来的，而不是"算"出来的。这也教育了学生："多减的要加上，多加的要减去"的算理。
二元示数不仅能反映补数，也能反映正负数。靠梁珠的加减反映的是正数运算，靠框的珠加减反映了负数运算。三年级的学生已学会正负数，由于直观形象，由感性到理性，理解的快，掌握的也牢固，对那些"异号相加数字相抵，符号从大"的口诀式概念，不是靠死记硬背而是自然而然的理解。因此学珠心算的学生除了在计算上学得快以外，还有其它更多的优势。这是有助于计算多样化的客观原因。更重要的我们进一步还可以从补数、凑数、正负数、加、减、乘、除等直观形象的运算中使学生体会到数学中到处充满了对立统一的辩证关系。这对学好数学是极其重要的。因为算法的精髓。潜移默化到学习体会中去。对学习数学理解、思维能力的帮助是深远的。
3) 数形结合。珠算在数形结合也由它直观形象的特点，易于理解，便于掌握，它可以摆出许多有趣的图形，提高学习的兴趣，不再使计算枯燥无味。不像一般认为珠算只是计算和数形结合无关的。
我们还可看到梁特猷教授在"对国家数学课程标准"(征求意见稿)的简析中陈述对教改的意见。他认为："标准"也提出"借助图形解决某些代数问题等"，却不提是中国传统数学的创造."标准"第93页举例4，只是"准备多个长方形和正方形卡片，……体会代数与几何之间的联系"，却只要求学生拼排a2+2ab+b2，而不循中国数学引导求证a2+2ab+b2=(a+b)2更未深引入图形求证a2+b2=c2(分别见下图1、2)。而这些都是千多年来中国传统数学统一处理几何和代数的示范，切实有利学生"体会代数与几何之间的联系"和对数学的探索."标准"所为比中国传统数学教学成就明显相形见绌。
珠算溶人数学并非解决一切，珠算源于数学，只有在数学中才能更好的发挥它的作用，我们主张在现代数学中吸取中国古代数学思想的精华，从而博取众长走中西方数学融合道路。
4)有利于开展整合教学培养非智力因素和动手能力。
由于珠心算的特点在幼儿、小学教育过程中结合和各学科整合教学更能发挥作用。
珠心算教学和数学课程的整合是很自然的，珠心算不入计算课，但在教学内容上可以配合、相通，从实际的效果看，重视并探索在这方面下功夫的园、校，则数学学习质量提高得更快、更好。
计算机学习的课程在小学中已经设立，初学重在操作。但由于计算机结构原理和珠算相通，所以在"Basic初级语言"中(科技出版社)的序言中就提出："计算机并不神秘，它的算题过程和人们利用算盘算题差不多。只要知道算盘是怎样算题的，就可以懂得计算机的算题过程和它的基本结构。"这是因为珠算具有一体性，即：输入、运算、保存、输出时完成，目前计算机(器)均不能分步完成。整合教学使学生懂得些原理，是有帮助的。
在和英语、语文方面的整合也有其优势。学过珠心算的同学其英语、汉语的记忆力可以增强，如在查字典的比赛中，学过珠心算的学生成绩优异，语文、数学是相通的，学过珠心算的学生由于数学思维能力的提高，在解应用题时处在有利条件，在学习分析综合，概括、判断的过程中不仅理解了算理也锻炼了语言的表达能力，说话条理清晰、简明、扼要。因为"语文使语言优美，数学使语言精炼"。
在幼儿教学中要贯彻"寓教于乐"，玩具、游戏都是主要手段。所以唱歌、舞蹈、动手、画画都相互贯通。有利于全面的提高学习效率和学习质量。
在经过珠心算教学的学生中，还有利于培养非智力因素--如动机、兴趣、意志、情感、性格尤在意志上培养细致，认真，一丝不苟的态度，坚持、刻苦、奋进、追求效率和质量的精神上，它起到有力的作用，这在一般教师、家长中均有认同和赞许。
综上所述，可以看到我们在珠心算课程开发制定的一系列方针原则：
开展珠心算的宗旨：
开发脑潜能，培养非智力因素，启发创新思维，增强动手能力。
手段和目标：
调动多种感官协调活动，眼看、耳听、脑想、口念和双手拨珠相互配合使大脑皮层的视觉、听觉、语言、书写等重要中枢建立起联系，发挥右脑形象思维或者是表象符号系统的作用，推动左右脑开发，提高儿童综合心理能力。

指导方针：
在小学中的指导方针：在珠算上下功夫，从数学上见效果。
在幼儿园中的指导方针：在娱乐中学习珠心算，在游戏中开发脑潜能。
在特殊学校中的指导方针：面对中度弱智儿童，开发脑潜能，提高计算和动手能力，适应社会生活的能力。
教学及教材编写原则：
三个同步即一、珠算与数学同步；二、珠算与珠心算同步；三、珠心算训练与思维训练同步。
一条龙教材体系：从幼儿园中班开始到小学三年级同时和特殊教育教材配套。最后坚持调动多种感官参与，做中学、寓教于乐。
实践证明：这是建立在对珠算在数学中的地位作用的理解基础上的。通过珠心算在计算过程中着重开发数学能力、综合心理能力，培养非智力因素，"重在过程"，不是单纯追求结果，而丰富多彩的过程，必然会有好的结果。这样的教学原则方法是体现教育理念，符合教育规律和适合学生身心发展条件的。
三、今后的方向
坚定地、继续争取教委的支持和合作，以理论为基础、科研为指导。下一阶段四个课题开发的项目是："学前儿童早期脑潜能开发"、"残障儿童脑潜能开发"、"珠心算与计算机教学整合"、"中国古代数学思想方法在教学中应用"。这些是把珠心算向更高层次引导的有力保证。同时也说明了积极开展国内外的学术交流是极其重要的。
为此我们在三年总结的基础上提出今后的开发的要求：一是跨学科开发策略，为了促进中西方数学的融合，对珠心算进行深度开发，要注意运用认知心理、思维科学、脑科学、课程论、数学教学论、中国古代数学史、珠心算理论进行综合开发、跨学科合作，加强与教育、科研机构、珠协与教育行政部门的沟通合作协作攻关。
二是采取稳步推进策略，首先下大力气编好教材、当前重要是在幼儿教材系统工程配套出台的基础上，组织教师边研讨边实践搞好珠心算整合教学。幼儿园珠心算教学基础扎实更有利于促进小学数学的教学，也为特殊儿童的教学提供有力的参考。
三要搞好对教师的培训，没有好的师资不会有好的教学质量。
四搞好学校基地建设，扩大要量力而行，区别对象顺势而发。
最后有必要说明的是我们提出"珠心算作为计算符号溶人数学"，是权宜之计，是作为中西方数学结合的突破口来开展实验的。这个提法也是目前各方能够接受的。如果从长远来看珠算将会作为"数学符号"溶人数学，这将对中西方数学的融合会有更广阔的发展。