学习起点，成败皆有可能——以六年级上册数学《方程》教学为例
更新时间：2014-07-22 09:52:06
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笔者连续六年执教毕业班数学，这是一个特殊的年段——既是对小学六年的总结，又将从这里迈向新的学段；这一年的学习内容，既可以看成是新知，又可以看成是把以前所学的知识、方法、思想①加以转化和综合利用。所以，对学生的“起点研究”显得尤为重要。通常，学习起点能作为新知学习的“起跳点”得以利用，本文以六上第一单元《方程》的教学实践为例，阐述学习起点对学习的影响，以解释“成败皆有可能”，旨在找到一条更好的教学路径。一
代数思想，想说懂你没那么容易！
【教学片断】习题：南京地铁一号线地下部分大约长14.3千米，比地上部分的2倍少0.7米。地上部分大约长多少千米？
生1 （14.3＋0.7）&bide;2=7.5（千米）
生2 解：设地上部分大约长x千米。（14.3＋0.7）&bide;2=x
生3 解：设地上部分大约长x千米。 2x－0.7=14.3
生4 解：设地上部分大约长x千米。2x＋0.7=14.3
生5 解：设地上部分大约长x千米。2x－14.3=0.7
生6 解：设地上部分大约长x千米。14.3＋0.7=2x、
……
上课教师点评：刚才同学们想到了用不同的方法来列方程解决，都很好。
这是一个很多老师都能遇到的教学片断。课后一一询问了这些发言的同学。
生1：明明我已经会很正确、熟练的解决了，为什么还要用方程？而且用方程解决的时候步骤很多，麻烦。***的时候，如果用算术法就是错误的吗？
生2：我这样列的方程也符合方程的定义，而且解方程很方便，不要移来移去，我觉得很好。
生3：我预习过例题，我知道要根据关键句“比地上部分的2倍少0.7米”来考虑数量关系式，应该是“地上部分的长度×2－0.7=地下部分”，所以，我得到了这样的方程。
生4：地上长度是比地上的多，所以用加法，为什么算出来的答案和别人都不一样，我不懂了。
生5、生6：这道题有不一样的数量关系，所以就有不一样的方程，应该都是对的。
笔者理解：
这些学生的发言都真实展现了他们的学习起点。生一和生二，完全是算术思想；生四、生五、生六，是基于算术思想的衍伸，用多样化的视角来寻找方程。而这位上课老师本身，未能准确区别两种思想带来的方法上的差异，从而帮助学生跳出算术思想的“坑”，贻误了学生正确建立用方程法解决实际问题的好时机。
笔者建议：
1.出示该题后，让学生独立解决。（旨在让学生充分呈现最直接的解题方法，即学习起点）
2.分类交流。（旨在明确这道题既可以用原来熟悉的算术法，也可以采用方程法。）
3.比较（两种方法的）差异。（旨在明确两种方法的思维要求是完全不同的，格式也是完全不同的。）
4.比较（三种方程的）差异。（旨在突出基本数量关系式带来列式的简便）
5.小结用方程解决实际问题的思路。
从算术解到方程解，并不仅仅是形式上的变化。每一次教这单元都觉得学生掌握得不理想。为此，专门做了相关的对比分析：
1
1 算术思想（学习起点）
1 代数思想（本册要求）
1 思维特点
1 从已知数量出发，借助中间问题，从而最终解决问题。
1 把未知量参与运算，通过列方程、解方程，得到想要的结果。
1 区别
1 从已知→未知
1 从未知→已知
1 列式要求
1 混合运算
1 两（三）步方程
1 区别
1 直接计算
1 解方程的格式要求
1 检验方法
1 通过多样化检验
1 把结果带入原方程检验
1 区别
1 多样化的关系式
1 最基本的关系式
从这张表格中，可以清晰地看到这两种思想正好是相反的，要完全改变学生已有的解题习惯，这是有困难的。
作为现代小学课程内容的算术，主要指自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固②。其实际运用可以追溯到远古时代的“结绳计数”。而“代数”一词的最初来源于9世纪花拉子米的《还原与对消的科学》，作为义务教育数学课程主要内容的初等代数，其中心内容就是方程理论，其中还涉及到代数符号发展的历史。“符号运算与数的区别，规定了代数与算术的分界。” 由此可见，代数的发展经历了相当漫长的发展，这样，与学生原有的认知会产生较强的冲突，影响学生的掌握。
二
已有的学习方式会制约对方程思想的整体把握。
在六年级这一个转折点，学习方法的转变是很重要的：要“从热衷于无数的常规练习转变为发展数学能力” ③。这样，才能以知识为载体，得到学习能力的培养，达成学习的目的。
还是以本单元为例，教材的例题，是为了让学生掌握形如“ax±b=c”和“ax±bx=c”两类方程，由于现行教材在之前的解决问题中是避免题型教学的，而在这一单元中首次如此重视用这种方式组织教学，这与学生的学习起点又是一个新的冲突。方程，被公认为是模型教学的典范，但这一认识如何让学生能接受？为此，我进行了尝试。
在第一课时的总结：今天我们认识的方程，仔细观察，“长”得还蛮像的，谁能看出像在哪里呢？
生：都是把一份数看成是未知数x，然后条件中都有比x的几倍多（少）几，所以列的方程都是先用一个数乘未知数，再加（减）另一个数。
师：你是一个了不起的孩子，对这部分知识已经非常清楚，可是，数学有它特定的表达，可以帮助你把意思说得更清楚明了。
板书：ax±b=c
师：观察，觉得这样写能表达刚才同学说的方程类型吗？还有哪些不明白的地方？
生：看上去是蛮清楚的，但为什么要用这几个字母来表示？
师：在我们最初认识用字母表示数的时候，好像字母都是平等的，一个未知数既可以用x来表示，也可以用其它任意一个字母表示。但在实际运用的时候，还是有一些约定俗成的规定，比如常见的公式，还比如现在这种写法。a、b、c表示的是题目中已经告诉的数，而x、y、z表示的是题目中不知道的数，现在能理解了吗？
第二课时总结：上一节课，我们用模型“ax±b=c”来表示所学的类型，那这节课的模型又可以怎么表示呢？
生：x＋ax =b。x表示一份数，ax表示几份数，当告诉两个数的和的时候就加起来。
生：我不同意这样的写法，因为这样写只可以表示两个数相加的关系，如果减呢？所以我把它改成“ax±x=b”，这样既可以表示加的关系，又可以表示减的关系。
师：这两个学生都很了不起，能用模型来表示方程的类型。但老师仔细读了教师用书，发现书上是这样说的“ax±b x=c”，这三个模型中，到底哪个更有普遍价值？大家讨论一下。
生：还是第三种最好，因为第一种只能表示加；第二种虽然既能表示加又能表示减，但只能是一份数和几份数的关系。而第三种写法，则更灵活，比如书上第6页的第9题就属于这样的类型。
数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识。追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向④。所以在教学中，我们不提倡学生记忆大量的公式、关系式，而是以一种更普遍的形式来表达尽可能丰富的内容，在减轻学生记忆负担的同时，又很好的培养了学生的抽象思维。而且在这个教学片断中，我们也能清晰的看到学生原有的知识起点往往是就题论题式的，缺少一种统整的意识。六年级了，是时候需要对原有的学习方法加以改造，并在合适的时候，给予更一般化的建构，实现一种认识上的新突破。
当然，在后续的学习中，学生会发现方程的类型远远不止这两种，但因为有了前期有效的引导，学生也会比较自觉地去探索适用于方程的其他类型，这样也就呼应了方程教学所倡导的“最基本关系式”的要求。
在本单元的单元复习教学中，则可以采用把较多的解决问题放在一起，让学生寻找哪些题采用了模型一，哪些题采用了模型二，从而发现：习题的素材并不重要，重要的是数量之间的关系，从而凸显基本数量关系对于列方程的影响，强化了用方程解题的要义。
毋庸置疑，更多的学习起点是为新知服务的，它们能顺应学生的认知规律，实现认识上的循序渐进、螺旋上升。但并不是所有的学习起点都能起到这样的作用，在《方程》这一单元的教学中，不少老师都有切身的体会。因此，把握学习起点的同时，还要合理区分可利用部分与干扰因素，合理取舍。
参考文献：
[1]王占宝.让优秀者更优秀p.25[M]，江苏教育出版社，2010-5
[2]百度文库.代数发展简史
[3]金成梁.小学数学教学与课程论p.3[M]，南京大学出版社，2012-2
[4] 李文林.数学史概论p.4[M]，高等教育出版社，2002-8
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