让学生根据经验进行合理猜测，是提高学生思维能力

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荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经说过：真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。确实，让学生根据经验进行合理猜测，是提高学生思维能力，帮助学生习得学习方法的重要方式，为此，很多数学教师在教学实践中运用这种教学方式。然而，由于处理不当，有些“猜想——验证”的学习并未取得预期效果。本文拟就一个案例谈谈笔者对“猜想——验证”学习方式的一些思考。

案例：五年级下册《等式的性质（二）》

师：昨天的课上我们认识了等式中的一个性质，谁来说一说？

生：在等号两边同时加上或减去相同的数，结果还是等式。

师肯定学生的回答后，出示图①：

让学生看图列式。                                      

学生回答：x=20


接着教师出示图②：

要求看图列式。

生回答：x+x=20+20

教师引导将上式写成另一种形式，即2x=20×2。

再出示图③：

生很快列出：3x=20×3



得到三个方程后，教师请学生观察，能否从中发现什么？

生：在方程的左右两边都乘一个数，等式还是成立。

师追问：这是你的猜测，这个猜测对不对，是否适用于所有的方程？就需要对此验证。下面，请大家任意写一个等式进行验证。

很多学生有些疑惑，不知道如何验证，但也有部分学生完成，于是教师组织交流。

生1：4＝4,4×3＝4×3。

生2：7=7,7×0=7×0。

……

接着老师继续出示图片：

得到3x÷3=60÷3

思考：根据这个式子你又能得到什么？

生：在方程的两边同时除以一个数，结果还是等式。

教师再请学生举例验证这句话是否准确，有学生发现方程的两边不能除以0，因为没有意义。于是就得到：在方程的两边同时除以一个数（0除外），等式不变。

最后，教师再要求学生将两句话合并为一句话，得到等式的另一个性质。

从这个案例可以看到，教师在给学生提供图片，学生根据图列出一些方程后进行“猜测”，而后学生再通过举例进行验证。如此“猜测——验证”，效果如何？
笔者发现：课堂上学生的参与热情并不高，课堂还是在师生的一问一答中进行。而且，学生所举的例子说服力不强，价值不大。

造成这样的局面，笔者认为是因为教师没有很好的认识以下三个问题：

1.猜测是为了什么？

猜测是学习数学的一种重要方法，是培养学生直觉思维能力的重要途径，是培养学生合理推理能力、提高数学应用意识的重要举措。因此，教学中采用猜测需要思考：能否帮助学生更好的学习数学知识？能否培养学生的直觉思维能力？能否让学生的合理推理有意义？能否创造机会让学生利用已有的事实和经验？上例中，学生看图写出三个方程，在观察方程得到“等式的两边同时乘上相同的数，等式不变”之后，教师再让学生猜测在其他的方程中是否也具有这样的规律？笔者认为，这样的猜测在培养学生直觉思维、合理推理等方面价值不是很大。因为无论是图或是列的方程都已经直观地向学生说明等式中存在的另一个规律，而且学生已经用完整的话阐述了这直观的事实。因此，这时的猜测、验证就会变得索然无味。同时，在这时作猜测后，学生很难举例去验证，课堂上所呈现的那些作为验证的回答“4＝4,4×3＝4×3”、“7=7,7×0=7×0”显然没有意义。由此看来，运用“猜测——验证”的教学方式需适宜，教师事先需把“猜测是为了什么”考虑清楚之后再作安排。

2.何时引导猜测？

那么，以上案例是否有“猜测——验证”的教学需要呢？笔者认为只要时机安排得当，这个教学内容采用“猜测——验证”能够留给学生充足的思考空间，让学生基于等式性质一进行合理推理，从而得到等式的另一个性质。具体可作这样的安排：

课堂伊始，教师提问：我们已经学习了等式的性质，谁来说说具体的内容？

当学生回答后，教师就可以启发学生根据已经学习的等式性质进行合理的猜测，猜一猜，在等式中还可能存在怎样的规律？学生根据已有的学习经验，完全有能力猜测：在等式的两边同时乘或者除以相同的数，结果还是等式。当然，在这里，大多数学生在猜测的过程中还不能考虑到关于“0除外”的问题，但教师不需要补充，而是在学生猜测后，作这样的引导：你是怎么想到等式中还可能存在这样的规律？能否有理有据的告诉大家你的想法？这一提问无疑将学生的思维引向深入，使他们不得不去考虑关于这样猜测的合理性。

猜测的时机非常关键，时机把握好了，学生的探索兴趣就能激发。与上例相比，显然在上课伊始就引导学生猜测，满足了学生的好奇心，同时，学习空间的拓宽无疑让学生更为主动地去调动学习经验。牛顿有句名言：没有大胆的猜测，就没有伟大的发明和发现。的确，如果猜测前还像上述案例中教师不断作铺垫，那么学生就不可能放开思维去驰骋想象，也就难以产生令学生欣喜的发现。

把握猜测时机，鼓励学生大胆猜测，让猜测真正发挥其特有的作用是教师必须思考的另一个问题。

3.怎样进行验证？

对于很多老师来说，验证就是让学生举一些例子来说明猜测的合理性。其实，关于验证，笔者认为不可小觑。例如，当学生猜测“等式的两边同时乘或者除以同一个数，所得结果还是等式”后，学生想办法验证这句话是否合理科学。这时，大多数学生可能会通过具体的例子来说明，但对于思维能力强的学生来说，也可能从加法和乘法的关系、减法和除法的关系角度思考。因为在四年级学习运算律以及混合运算的时候，学生对于加法和乘法的关系；减法和除法的关系有过思考，知道乘法是特殊的加法，而除法则是特殊的减法。

笔者认为，通过具体例子说明问题的验证固然是符合学生思维特点，但在逻辑的角度，这样的验证并不严密。当然，之于小学生来说，这样处理也是可以。但是，如果能够从运算意义的角度去思考，那么验证就更加符合逻辑、更具说服力了。

当然，如果课堂上没有学生提出从运算关系的角度去验证，笔者认为教师有这个必要去引导。如：同时乘上一个数就相当于什么？能与加法建立联系吗？即x＝40 → 3x＝40×3,就相当于x＋x＋x＝40＋40＋40。经这样的引导，学生很容易就理解，为何能从“等式两边同时加或者减去一个数，所得的结果还是等式”推理出“等式两边同时乘或者除以同一个数，所得的结果还是等式”的道理，帮助学生给猜测找到依据。

课进展到这里，教师需要进一步点拨：既然这两句话本质上相通，为何要用两个性质来定义？是否这两个规律有不同之处？这一问题能够让学生意识到两个性质的命名必然有不同的地方，其不同就在于同时除以同一个数是必须“0除外”，这是区别于性质一的最为关键的地方。

综上，笔者想说明的是，验证的方式并非仅是举例，有时，我们可以通过沟通知识之间的练习，触及知识的本质进行。这样作验证，会使课堂更具深度。

“猜想——验证”的教学方式虽好，但如何让其名副其实，在促进学生思维发展，提升学生数学素养上发挥更大的作用，需要我们在实践中不断思考，不断改进。