论文：基于问题的问题教学设计——以“分数和除法的关系”为例

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太仓市新区第二小学    王文英  一、问题的发现和思考  问题一：分数表示计算的结果吗？在一次批改作业中，发现学生用近似数表示方程的解（如右图）。明明已经学过分数与除法的关系，为什么不用分数表示除法的商呢？是不是学生忘了分数与除法的关系？于是，把那几个学生找来，不料孩子们回答的头头是道：“被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。”可是，为什么不用分数表示除法的商呢？学生表示：解方程是要算出结果的。言下之意，分数并不能表示除法的结果，或者说，在学生看来，用整数和小数才能表示计算的结果，而分数并不行。是什么原因造成学生认识上的误解呢？
问题二：量与率，怎么让学生区分?
一次教研活动时，教师们提出，诸如“2米长的绳子平均分成4段，每段是这根绳子的，每段长米”的练习，学生错误率太高了，尽管一遍一遍讲解，学生还是屡错不改。怎么教，学生才能较好地区分量与率？
问题三：教材为何对“分数与除法的关系”内容作调整？
修订后的苏教版教材，对于“分数与除法的关系”做了调整，原来，这部分内容安排在“分数的意义”、“认识真分数和假分数”、“求一个数是另一个数的几分之几的实际问题”之后教学，修订后，教材将此作为“分数的意义”单元的例题2。这是怎么回事？教材为何作这样的调整？
以上三个问题都跟“分数与除法的关系”有关。对于分数与除法的关系，很多教师的认识仅仅停留在“被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线，商相当于分数值”这外在的形式上。事实上，分数的产生源于两个主要原因，一是度量的需要，二是除法运算的需要。用分数表示除法运算的结果，这是分数与除法的本质关系，至于用怎样的分数表示，才是“被除数相当于分子，除数相当于分母”这外在的联系。在教学中，我们往往只关注了分数与除法的外在联系，忽视了它们之间内在的本质联系，因此，问题一的出现就不可避免。
另外，分数与除法之间的本质联系恰恰是分数的另一重要意义，第二个问题所暴露的就是对分数两种意义理解的混淆。“2米长的绳子平均分成4段，每段是这根绳子的”，这是把2米看作单位“1”平均分成4份，表示这样的1份，这是检测学生对“分数的意义（1）”的理解。而“每段长米”是用分数表示除法结果的意义体现。因此，如果学生能够对分数的两种意义透彻理解，那么就能较好的区分两个填空所对应的知识运用。对于这两个问题的剖析和理解，恰好能够解释问题三的调整原因。教材的调整是因为“分数和除法的关系”揭示的是分数的另一种定义，教材将分数的两种定义安排在一起教学，是拓宽学生对分数的意义的认识和理解。
基于对以上问题的认识和思考，笔者认为解决上述问题，需要在教学时注意以下几点：
第一，帮助学生透彻理解“分数与除法”的关系。也就是既让学生理解分数可以表示除法的商，还要让学生知道怎样表示除法的商，再要让学生了解为什么被除数表示分子、除数表示分母的道理。只有学生知道这其中的来龙去脉，他们才能真正理解分数的意义。
第二，帮助学生认识分数的两种意义，并理解它们的内在联系和区别。对于学生来说，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的1份或几份的数叫做分数，这个表示部分与整体关系的意义从三年级起就开始渗透，因此根深蒂固。而用分数表示除法的商，是事先没有任何铺垫的即时教学。让学生区别这两种不同的意义，可以通过对比的方式，让学生产生认知冲突，发现与之前所学的分数意义的不同之处，从而获得新的意义。
第三，帮助学生理解体会学习“分数和除法的关系”的意义和价值。在教学时，教师需要有意识的设计环节，让学生去体会学习“分数与除法的关系”的实际价值。当学生有所体会，在具体应用时，才能自觉运用分数与除法的关系去解决实际问题，也才会避免出现类似用近似数表示方程的解的现象。
那么，如何做，才能帮助学生实现上述的三点。笔者以“问题教学”的设计思路，进行了一番尝试。
二、基于问题的“问题教学”设计
问题教学是指围绕问题展开教学的课堂授课方式。它以提出问题、解决问题、再生发新的问题推动课堂教学进程。笔者所倡导的问题教学，是核心问题统领的问题串贯穿整堂课学习脉络的教学方式，在问题串的驱动和引领下，学生通过观察、实验、猜测、证明等数学活动，深入思考，使问题获解，完成学习任务。在“分数与除法的关系”教学设计时，笔者以“分数与除法有什么关系”为核心问题，并设计了四个辅助问题，组成了由五个问题组成的“问题串”展开教学，这五个问题分别为：“你学过的数学知识中哪些跟平均分有关？”“分数和除法有什么关系？”“怎样用分数表示除法的商？”“为什么可以这样表示？”“学习分数与除法的关系有什么用？”“问题串”将课堂分成了三个环节，分别为：环节一：巧妙设疑，引出核心问题。出示“平均分”，提问：你学过的数学知识中哪些跟“平均分”有关？根据学生回答，分别板书：分数    除法   
启发提问：分数是一种数，除法是一种运算，它们都与平均分有关，这时，你能想到什么问题？
启发学生提出问题：分数和除法有什么关系？
环节二：积极探索，研究分数与除法的关系。
1.引发思考，体会分数可以表示除法的商。
出示例题：把1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？
提问：求“每人分得多少块？”你能想到哪个除法算式？哪个分数？
学生回答，除法算式是： 1&bide;4，分数是： 。
追问: 指的是什么？（把1块饼平均分成4份，每人分得一份，是。）
（事实上，学生所想到的分数，是1块饼的，在这里，教师要注意一块饼的与块饼的沟通，让学生体会到尽管都是，但意义是不同的。）
得到：1&bide;4=（块），启发得到：分数可以表示除法的商。
2.动手操作，理解怎样用分数表示除法的商。
追问:怎样用分数表示除法的商呢?
（1）初步体会如何用分数表示除法的商。
出示例题:把3块饼平均分给4个小朋友,每人分得多少块?
提问:可以怎样列式？你又想到哪个分数?
（列式对学生来说较容易，但根据题意想到的分数有多种，在两次执教过程中，发现很多学生想到的是，这说明学生对表示部分与整体关系的意义印象深刻，这时，教师需要让学生关注，这里的问题是求具体的数量，这里的并不表示除法计算的结果。帮助学生澄清这一认识非常重要，因为这是帮助学生区分分数的两种不同意义的重要时机。）
学生动手操作，发现3&bide;4的结果为（块）。
教师可以演示两种分法的过程：
分法一：                         分法二：
 
两种分法比较。
两种分法，都得到了块这个结果，但它们之间有什么不同？（分法一是一块一块分，把一块当作单位“1”；分法二是把3块当作一个整体分，把3块当作单位“1”。）（2）进一步体会如何用分数表示除法的商。出示例题：把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？要求学生同桌讨论，并求出商，得到每人分得3块饼的，是（块）。即：3&bide;5=（块）。
看着板书思考： 
①上面的每个问题，分别得到了两个不同的分数，前面的这些分数表示什么？（每人分到的和整体的关系）后面的这些分数表示什么？（具体的数量）
②表示关系的分数和表示具体数量的分数有什么相同点和不同点？（相同点是分母相同，都是平均分的份数；不同点是分子，表示具体数量的分数的分子是总数。）
③你能说说如何用分数表示除法的商吗？（用被除数表示分数的分子、除数表示分数的分母）
（3）理解为什么可以用这样的分数表示除法的商。
追问：从表面上看，除法与分数的确有着这样的关系，为什么可以用这样的分数表示除法的商?
得到：在除法里，总数表示被除数，份数表示除数；而表示具体数量的分数，分子就是总数；分母就是平均分的份数。因此，被除数相当于分子，除数相当于分母。
3.建立模型，用符号表示分数与除法的关系。
谈话：既然分数和除法之间普遍存在着这样的关系，我们可以用什么去表示呢？
得到：a&bide;b=，并引导得出b≠0 。
环节三：练习反思，体验分数与除法的实践意义。
口算。想一想，你准备怎么计算？
1&bide;8=       5&bide;9=       2&bide;15=      3&bide;7=      
2&bide;5=       11&bide;12=     22&bide;23=     1&bide;3=
提问：通过练习，你知道：研究分数与除法的关系有什么用吗？
（学生表示，用分数表示除法的结果，既方便又不容易错。学生有了切身的感受，在后续的学习中就能自觉运用分数与除法的关系。）
三、基于问题的“问题教学”思考
“分数与除法的关系”是笔者用“问题教学”设计的一堂研究课，期间，因为对学生的问题估计不足，试教效果并不十分理想。随后，在对学生存在的问题进行深入分析，并不断完善教学设计后，渐渐取得理想的教学效果。为此，笔者认为：1.高质量的问题设计决定了“问题教学”的成败。“问题教学”离不开问题，问题设计的质量直接影响“问题教学”的效果。设计出高质量的问题，需要考虑两个方面的因素：
一是研究学生的认知现状。首先需研究学生可能存在的问题。学生可能存在的问题是教师基于学生习起点所作出的分析和判断，即在教学设计时，教师需要对学生新知学习中可能存在的疑惑，可能混淆的知识点进行梳理。另外，教师也需根据之前的教学经验，整理以往教学中学生易错易混的知识点。两者结合，就能准确把握问题设计的方向。
二是研究知识的本质。学生对知识产生混淆，很多情况下是因为不清楚知识的来龙去脉。因此，“围绕知识诞生的初衷而提出问题”①是问题设计的重要策略。为此，教师需认真研读教材，从教材中读懂知识的本质所在。如“分数与除法的关系”，其关系的本质是分数可以表示除法的商。怎样表示？则根据总数与被除数、分子的关系，份数与除数、分母的关系，得到用分数表示除法的商，只要将被除数表示成分子，除数表示成分母即可。当学生能够结合总数、份数来思考被除数和分子、除数和分母之间的关系，那就说明学生找到了分数与除法之间外在联系的根源，根源找到，学生就能实现对知识的深刻理解。基于这样的认识，笔者设计了由五个具有内在逻辑关联的、能够帮助学生寻根问底的问题形成的问题串作为教学的主线。事实表明，在这条线索的引领下，学生能清晰地认识“分数与除法的关系”，扎实地理解分数的两种不同的意义。
2.合适的问题坡度搭设助推了“问题教学”的实施。
由核心问题统领的“问题串”是课堂行进的主线，它是“问题教学”成功与否的关键。在推进的过程中，有时因为问题空间较大，学生不知道从何想起而影响课堂正常的行进速度。因此，在这样的状况下，需要给那些空间大的问题搭设坡度，以便学生拾级而上，解决问题。就如上例的两个问题：“怎样用分数表示除法的商？”“为什么可以这样表示？”这是两个关联度非常高，而且都是空间较大的问题。“怎样用分数表示除法的商？”表面上看，学生似乎很容易能够找到问题的答案，然而，由于学生受到表示关系的意义的影响，在探索“1块饼平均分给4个小朋友，每人分到多少块？”以及之后的“3块饼平均分给4个小朋友，每人分到多少块？”学生都用去表示。因此，如果在例题教学中没有帮助学生区分“表示关系的分数”和“表示数量的分数”的不同意义，学生就很难真正理解“怎样用分数表示除法的商？”如果学生不能对这个问题作深入的理解，那么在探索“为什么可以这样表示？”就非常困难。为了帮助学生在有限的课堂中实现对知识的深刻理解，笔者在这里设了两个小问题：
①上面的每个问题，分别得到了两个不同的分数，前面的这些分数表示什么？（每人分到的和整体的关系）后面的这些分数表示什么？（具体的数量）
②表示关系的分数和表示具体数量的分数有什么相同点和不同点？（相同点是分母相同，都是平均分的份数；不同点是分子，表示具体数量的分数的分子是总数。）
有了这两个问题作铺垫，学生就能较好的区分分数的两种不同的意义，同时，也为学生寻找“为什么可以这样表示？”作了必要的铺垫。
可见，基于问题，让教学设计的方向更准确；问题引领，则让探索的目的更明确。基于问题的“问题教学”是数学课堂教学的一种有效方式，在培养学生的思维能力，促进学生思维的深刻性，帮助学生养成追根溯源的探索精神等方面都有着积极的意义。
 
参考文献：
①陈勇.问题教学的价值与操作﹝J﹞.外国中小学教育，2005,10.（40）