让数学课堂彰显数学思想的力量——“数形结合”教学案例及分析

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铜山实验小学    周卫，摘要：数形结合既是一种解决问题的方法，更是一种数学思想。小学阶段是学生建构数形结合思想的最佳时期，在学生由形象思维为主逐渐向抽象思维的过渡中，数形结合正是顺利完成这个过渡的最好媒介。数学学习中，经常会有抽象的数学概念，而借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转换成直观的图形，以便于学生对其进行分析和推理，从而建立模型，深刻理解数学概念和意义，这实际是数形结合中“以形助数”。在数学中，也有一些问题需要借助数形结合中的“以数解形”。让数学课堂彰显数学思想的力量，努力打造有深度的课堂。

著名优秀教师李军指出：小学数学教学应当在关注知识和能力的基础上，把数学思想与方法作为引领教学的根本，让数学思想显示出来，重在改变课堂教学形态，让数学学习彰显数学思想的力量。数形结合既是一种解决问题的方法，更是一种数学思想。现行小学教材有关数形结合的内容交替螺旋安排的，小学阶段是学生建构数形结合思想的最佳时期，在学生由形象思维为主逐渐向抽象思维的过渡中，数形结合正是顺利完成这个过渡的最好媒介，借助形的形象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，让数形结合思想植根于课堂教学。

下面以自己教学中的部分案例谈谈这方面的体会。

案例一

苏教版小学数学四年级上册第30页“简单的周期”教学片断：

1、师： (出示教材例1场景图  ）    

师：同学们,我们一起看这一幅图，从图中，你都看到些什么？

生1：盆花、彩灯、彩旗。

生2：彩灯、 彩旗、盆花的排列都是有规律的。

师：你能说说都是按什么规律排列的吗？

生：盆花是按蓝花、黄花、红花这样的顺序，每3盆一组往下排的；彩灯是按照红灯、紫灯、绿灯、紫灯这样的顺序，每4盏一组往下排列的；彩旗是按照两红、两黄的顺序，每4面一组往下排的。

师：生活中经常可以遇到这样按照一定的规律排列的物体。象这样周而复始、循环出现的排列，每出现一次就称为一个周期，这节课，我们就一起来研究简单的周期。（板书课题）
2、师（出示盆花小图）：我们先一起研究图中盆花排列的问题，在图中，我们能看到几盆花？（9朵）如果继续照这样摆下去，从左起第 10盆花是什么颜色的？

生：蓝色。因为每3盆一组，第10盆就是每组的第一盆花，所以是蓝色的花。

师：照这样摆下去，左起第19盆花是什么颜色的花？能解决这个问题吗？

生独立思考，在组内交流后集体回报。

师：同学们已经在小组里交流了自己的想法，谁愿意说说你们的意见？

生1：我是排一排的方法，用蓝黄红、蓝黄红、蓝黄红的顺序排到第19是蓝，所以第19盆花是蓝色。

生2：可以用画一画的方法，用○△●、○△●、○△●分别表示蓝、黄、红，画到第19个是○，代表蓝色的花，所以第19盆花是蓝色.
生3：我是1、2、3分别表示的蓝、黄、红方法，按照123、123、123的顺序写到19是1. 1代表蓝色的花，所以第19盆花是蓝色。
生4：我是:a、b、c分别表示的蓝、黄、红方法，按照abc、abc、abc的顺序写到19是a. a代表蓝色的花，所以第19盆花是蓝色。
   生5：老师，我是直接计算的，每3盆花看作一组，19÷3=6（组）……1（盆），就有这样的6组，余下的1盆指下一组第1盆。第19盆是第7组的第一盆，所以是蓝花。
……

周期问题是数学中一个常见的数学问题，学生理解掌握有一定的难度。借助直观发现规律，总结排列特点，联系已有数学知识解决问题，是周期问题教学的有效的教学方式。在这一教学案例中，教师引导学生通过观察情境图中的实物排列的特点，唤起学生对排列规律的关注，通过独立思考和交流探究，给学生提供探究学习的空间，学生通过自主探究和小组合作学习的方式，寻找到解决问题的多种方法。教学中，教师紧紧抓住“形”的直观，引导学生发现问题探究规律。学生从用汉字到用图形再到用字母和数字分别表示蓝花、黄花、红花，从最先的画一画到最后的列算式计算，引导学生探究解决这类问题的一般方法，思维层次逐步提高。从直观到抽象，层层递进，层层深入，进一步发展了学生的思维能力，拓宽了学生解决问题的思路。整个探究活动，学生都是在“形”的直观排列中发现规律，通过 对“形”的直观分析探究，发现规律从而寻找到解决数学问题的一般方法，使学生切实体会到“形”在解决数学问题中发挥着重要的作用，也就是“数离不开形”的帮助。

案例二：

苏教版小学数学四年级上册第49-50页“平均数”教学片断



一、创设情境，提出问题

师：（出示例题）三年级第一小组的同学进行了男女生套圈比赛，每人套15个圈。这两幅统计图分别表示男生和女生套中的个数。从图中你知道了些什么？

生：我知道男生最多套9个，最少套6个；女生最多套10个，最少套4个。

……

（让学生充分发表意见）

师：男生套得准一些还是女生套得准一些？

生1：女生套的准些，因为女生最多套10个。

生2：我觉得男生套的准些，因为男生套个数的都差不多，女生虽然有一个人套10个，但是还有两个人套的太少，只套4个。
二、自主探索，解决问题，师：怎样才能说明男生套得准一些还是女生套得准一些呢？ 请在小组内说说自己的想法。生交流讨论后回报。生1：把男生和女生套中的个数分别加起来比总数.

生2：我不赞成这种方法，因为男生和女生人数不一样。

师：如果我们能够选取一个数据表示男生或女生套圈的整体水平，那么就容易判断谁套得准了，这个数据是么呢？

生：求出男生.女生平均每人套中的个数进行比较。

（大部分学生表示同意）

师：怎样求出男生平均每人套中的个数？

生1：移动条形统计图中方块，使4个男生套中的个数变得同样多。

师课件演示

生2：先求出男生4人一共套中的个数，再计算男生平均每人套的个数。

（生试做后集体评析）

师：通过计算得出男生平均每人套中7个，7就是6、9、7、6四个数的平均数。

（接着计算女生平均每人套中的个数，再进行比较）

师：刚才同学们通过计算男女生每人平均套中的个数，比较出谁套的准些，为什么用平均数进行比较？

生：因为求平均数既考虑到总个数也考虑到人数，所以比较合理。

师：怎样计算一组数据的平均数？求出的平均数说明了什么？

生：用每组套中的总个数除以人数就是一组数据的平均数。平均数代表的是整体水平，不是指每人具体套中的个数。

……

平均数是统计中的一个重要概念。在统计中平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点。本节课教学重点就是引导学生理解平均数意义，体会平均数在生活中的应用。

数学学习中，经常会有抽象的数学概念，而借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转换成直观的图形，以便于学生对其进行分析和推理，从而建立模型，深刻理解数学概念和意义，这实际是数形结合中“以形助数”。例如：上述教学案例中，教师首先借助统计图提出问题“男生套得准一些还是女生套得准一些？”激起学生探究的积极性，接着教师为学生提供充分的思考交流探究的空间，学生在思考中不断发现借助直观统计图寻找出解决问题的方法---求平均每人套多少个？学生经历了观察、分析、比较、计算、概括等一系列数学学习活动，“以形助数”从而理解了平均数的意义。

在数学中，也有一些问题需要借助数形结合中的“以数解形”。上述案例中，当学生意识到通过统计图不容易看出“谁套的准些？”，再通过“平均数”的比较，使直观观察统计图不容易分辨出“男女生谁套的准些”的问题，借助平均数很容易比较出男女生谁套的准些，使学生体会到“以数解形”的无穷魅力。

小学数学中，数离不开形，形也离不开数，这就是数形结合的思想方法。数形结合思想在小学数学教学中有着广泛的应用，上面的两个教学案例进一步诠释了“数形结合”在教学中的重要性，作为一线教师，要让数形结合思想植根于课堂教学，让数学课堂彰显数学思想的力量，努力打造有深度的课堂。