让学生充分暴露数学思维过程《三角形的内角和》教学案例分析

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教学片段：师出示一正方形纸，问：正方形有几个内角，每个内角各是多少度？正方形的内角和是多少度呢？为什么？生1：正方形的内角和是360°，因为每个内角都是90°，有4个内角，就是4个90°，也就是360°。
师：现在，我们把这个正方形纸沿着对角线剪开后会怎样呢？
（师演示，并指导生拿出正方形纸折一折、剪一剪）
生3：通过刚才的观察与操作，我发现这样沿对角线剪开后，得到了2个三角形，都是等腰直角三角形。
师：现在谁已经知道其中的1个直角三角形的内角和是多少度？为什么？
生：通过刚才的观察与操作，我发现直角三角形的内角和是180°。因为正方形的内角和是360°，沿对角线剪开后，等于把正方形平均分成了两份，也就是把360°平均分成两份，每份是180°，所以这个直角三角形的内角和是180°。
生：我发现直角三角形的内角和是180°。因为沿正方形对角线剪开后，等于把正方形原来的直角平均分成了两份，每份是45°，两个45°加上90°就得到180，所以我知道一个直角三角形的内角和是180°。……
师：我们已经知道，直角三角形的内角和是180°，那么我们肯定能猜测到：钝角三角形的内角和应该……
生：大于180度
师：锐角三角形的内角和应该……
生：小于180度
师：可以用什么办法验证吗？
生：先量一量钝角三角形或锐角三角形中的三个内角和各是多少度，再加起来算一算就知道了。
师：开始验证。（学生动手度量，计算）
师：你们验证的情况怎么样？
生：刚才的猜测是对的，钝角三角形的内角和大于180度，锐角三角形的内角和小于180度。
生：刚才的猜测都错了，钝角三角形和锐角三角形的内角和都等于180度。
师：看来量角器验证还不能叫人心服口服。那么，我们能不能象刚才推导直角三角形的内角和等于180度那样，通过计算来证明。
生：可以把钝角三角形沿着高对折，得到两个完全一样 的直角三角形。因为每个直角三角形的内角和等于180度，所以钝角三角形内角和等于180×2-90×2=180度。
师：钝角三角形内角和不会求怎么办？我们就可以把它分割成两个直角三角形。每个直角三角形的和等于180度是我们已经证实过的，所以现在我们就知道了第二个结论：钝角三角形内角和……
生：（齐）等于180度
师：现在我们用同样方法可以证明锐角三角形的内角和是多少度呢？
师：现在我们又得到第三个结论，一齐回答
生：锐角三角形的内角和等于180度。
师：原来不管是直角三角形，钝角三角形，还是锐角三角形，它们的内角和都等于180度。谁能把这三句话概括成一句话。
生：三角形的内角和都等于180度。
师：除了刚才计算方法，还有其他方法可以验证这个结论吗？（小组讨论）
生：我们把三角形的三个角∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 剪下来，然后拼在一起，就拼成一个平角了。因为平角等于 180 度，所以发现钝角三角形和锐角三角形的内角和都是 180 度。（在展示台展示） 

生：我们是先将一个角折过来，使它顶点落在底边上，再把另外两个角也折过来，这样三个角正好折拼成一个平角，所以我们知道这个钝角三角形的内角和是180。

案例分析：
数学具有抽象性和经验性的两重特性，这就决定了我们在数学教育中既要讲演绎，又要讲归纳；既要求学生小心求证，又要求鼓励学生大胆地猜想和创造——这就是数学及数学教育的本来面目，也就是说在数学教学中不仅要讲数学知识而且还要让学生经历数学知识的形成过程。如果我们在教学过程中不重视知识形成过程，实际上就是放弃了培养学生创新意识、提高学生思维能力和实践能力的机会。这实在是对教育资源的一种浪费。本堂课设计着重暴露了学生在思维过程中的三个方面：重点—如何形成三角形内角和是180度的结论。难点——怎样想到三角形的内角和都是180度。疑点——直角三角形，钝角三角形，还是锐角三角形，它们的内角和都等于180度。为了更好地暴露这三方面的数学思维过程，精心设计和组织教学过程。在学习这个新知之前，学生原有认知结构中有了正方形的内角和是360度这个知识点。所以在复习回忆了正方形的特征和内角和等于360度这个旧知后，让学生动手把正方形纸沿着对角线折一折、剪一剪，看看变成了什么图形？从正方形剪一剪变成两个等腰直角三角形操作中得到启示，从而推导得出 “—直角三角形的内角和等于180度”这个结论。这一结论是直接从学生已有旧知推导而得，所以学生比较容易理解和接受，为后面进一步推出钝角三角形和锐角三角形的内角和既提供了条件，却又形成了思维定势。所以学生一开始都猜测钝角三角形内角和大于180度和锐角三角形的内角和小于180度结论。学生的猜测不管是对是错，这都是好事，因为可以真实详尽地暴露学生在学习中的思维全过程。虽然开始学生的两个猜测都是错误，但又是合情的，这是对于知识本身的一种错觉，但对于发展学生的数学思维可谓是一贴灵丹妙药。猜想和尝试是数学思维的生命线，学会猜想是学会思维的先导。有了猜想，就必须通过验证加以证实。由于小学生的思维抽象能力有限，所以一般采取操作、画图，计算等相对直观的手段。这里先让学生动手测量，再凭借计算作出推理，从而使猜测中的疑点清晰起来，得出了完整的结论：三角形的内角和都等于180度。最后又鼓励学生用多种方法验证这个结论，培养学生的发散和创新思维。
纵观整个流程的每个阶段中，都是为了本课的重点，难点，疑点而暴露，集中指向教学内容而暴露。由此可见，充分暴露学生的思维过程，找准暴露的着力点，是提高课堂教学效果的有效途径之一。